新投影算法实现Bures-Wasserstein重心单位步长下维度无关线性收敛
arXiv论文提出Projected RGD，在单位步长下达到线性收敛率(1 - κ^{-3/2})，迭代复杂度从κ^{5/2}降至κ^{3/2}，且每步计算成本不变。
一篇新arXiv论文提出Projected Riemannian Gradient Descent算法，用于计算正定矩阵集合的Bures-Wasserstein（BW）重心，在单位步长下实现维度无关的线性收敛，收敛率为(1 - κ^{-3/2})，其中κ是矩阵集合的条件数。该结果多项式改进了最佳小步长保证（迭代复杂度从κ^{5/2}降至κ^{3/2}），且投影不增加每步计算成本。论文由A. Afham提交，发布于2026年9月3日，预印本编号arXiv:2609.03762v1，共33页。
研究背景：单位步长保证的维度灾难
论文指出，BW重心计算在机器学习、最优传输和量子信息中广泛出现。实践中使用的固定点迭代——即单位步长的黎曼梯度下降（RGD）——经验上收敛迅速，但现有理论分析呈现两难：单位步长的保证在最坏情况下随维度呈指数依赖，而维度无关的保证则要求小步长，从而牺牲了经验速度。
核心贡献：投影引理与免费投影
作者提出Projected RGD算法，解决了这一两难问题，但并非通过改进单位步长RGD的保证，而是通过引入投影步骤。算法的关键是一个新的投影引理：将正定矩阵的特征值截断到区间[α, β]，是到集合{S : αI ≤ S ≤ βI}的BW度量下的闭式、非扩张（1-李普希茨）投影。论文强调，这一陈述与已知的单侧版本不同，不能由凸性直接推出。
投影步骤计算成本为零：它复用了下一次迭代必然要执行的特征分解，因此投影与未投影的迭代每步成本相同。作者还指出，同样的分析覆盖了Brahmachari等人（2025）的不变矩阵投影问题，将其固定点算法识别为全测地子流形上的单位步长RGD，从而将该维度无关保证直接扩展到该设置。